Preenche um Select de Cidade de Acordo com o Estado

Boa noite Pessoal!
Preciso de uma ajuda que para mim será de grande importância!

Seguinte!

Tenho 2 (dois) campos SELECT
O primeiro eu preencho com os estados
O segundo fica vazio para ser preenchido com as cidades de acordo com o estado que eu selecionar no primeiro.

Segue abaixo os códigos

1 - Parte do código onde está o SELECT que é preenchido com os estados
<label class="label_cad">Estado:</label><br/>
  <select required title="Selecione o estado" name="codestado" id="codestado" class="select_cad" style="width:170px;">
                    <option value=''>SELECIONE...</option>

<?php  
  $sql_estado =  DBRead("tbb_estados","codestado, nomeestado, siglaestado", "WHERE ativo='1' and codestado=29 ORDER BY nomeestado");     
  $selecionado = "";
  if($sql_estado > 0) {  
foreach($sql_estado as $linha){
   $idestado = $linha['codestado'];
$nomeestado = LimparEspacoMySQL($linha['nomeestado']);
$siglaestado = LimparEspacoMySQL($linha['siglaestado']);

if($idestado == $var_idestado) { $selecionado = " selected";}else{$selecionado = "";}
echo "<option value=$idestado $selecionado>" . $nomeestado . "</option>";
}
  }
?>                    
</select>
Esta parte está 100%! Tudo funcionando certinho



2 - SELECT que será preenchido com as cidades de acordo com o estado selecinado no primeiro SELECT


                  <label class="label_cad">Cidade:</label><br/>
                     <select required title="Selecione tipo de logradouro" name="codcidade" id="codcidade" class="select_cad" style="width:250px;">
                     <option value=''>SELECIONE O ESTADO...</option>                    
                   </select> 


3 - Código PHP (cidades.ajax.php) no arquivo que eu busco as cidades.


$mysqli = new mysqli("localhost","root","sql","bdspaw"); 
$codestado = $_REQUEST['codestado'];
$sql_cidades = "SELECT codigocidade, nomecidade FROM tbb_cidades WHERE codestado={$codestado} ORDER BY nomecidade" ;    
$query = $mysqli->query($sql_cidades);

$cidades = array();
  
while ($linha = mysqli_fetch_array($query)) {

$cidades[] = array(
'codigocidade' => $linha['codigocidade'],
'nomecidade'=> $linha['nomecidade'],
);

}


echo( json_encode( $cidades ) );


4 - Código AJAX para preencher o Select de Cidades.

$(function(){ 
$('#codestado').change(function(){
if( $(this).val() ) {
$('#codcidade').html('<option value="">AGUARDE! LISTANDO CIDADES...</option>');

$.getJSON('cidades.ajax.php?search=',{codestado: $(this).val(), ajax: 'true'}, function(j){
alert($(this).val());
var options = '<option value="">SELECIONE UMA CIDADE...</option>'; 
var var_selecionado = "";
for (var i = 0; i < j.length; i++) {

options += '<option value="' + j[i].codigocidade +  '">' + j[i].nomecidade + '</option>';

}

$('#idcidade').html(options).show();

});
} else {

$('#codcidade').html('<option value="">SELECIONE O ESTADO...</option>');
}

}); 
}); 


Acontece que já fiz de tudo tentando fazer isso funcionar!
E não consigo!

Alguém aí pode me ajudar ?
Agradeço!